** Étude d'une fonction (2)

On considère la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par `f(x)=x+\ln(1+\text{e}^{-3x})` .
On note \(\mathscr{C}_f\)  la courbe représentative de la fonction \(f\)  dans un repère orthonormal du plan, d'unité 1 centimètre.

1. Déterminer la limite de `f`  en `+\infty` .
2. a. Démontrer que, pour tout réel `x` , on a `\ f(x)=-2x+\ln(1+\text{e}^{3x})` .
    b. En déduire la limite de   `f`  en `-\infty` .
3. Étudier les variations de la fonction `f`  sur `\mathbb{R}`  et dresser le tableau complet des variations de  `f`  sur `\mathbb{R}` .
4. On considère la droite \(\Delta\)  d'équation \(y=-2x\) .
    a. Étudier la position relative de \(\mathscr{C}_f\)  et \(\Delta\) . (On pourra s'aider de la question 2.a.)
    b. Soit \(x\)  un réel. On note \(\text{M}\)  le point de \(\mathscr{C}_f\)  d'abscisse \(x\)  et \(\text{P}\)  celui de \(\Delta\)  d'abscisse \(x\) . Exprimer en fonction de \(x\)  la distance \(\text{MP}\)  et calculer sa limite lorsque \(x\)  tend vers \(-\infty\) . Que peut-on en déduire graphiquement ?
    c. On estime que \(\text{M}\)  et \(\text{P}\)  sont indiscernables à l’œil nu dès lors que \(\text{MP}\)  est inférieure à  \(0,02\) cm. Pour quelle valeur minimale de \(x\)  peut-on discerner, à l’œil nu, les points \(\text{M}\)  et \(\text{P}\)  ?