** Étude d'une fonction (2)

On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=x+\ln (1+{\text{e}}^{-3x})$ .
On note ${\mathcal{C}}_f$  la courbe représentative de la fonction $f$  dans un repère orthonormal du plan, d'unité 1 centimètre.

1. Déterminer la limite de $f$  en $+\mathrm{\infty }$ .
2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ , on a $f(x)=-2x+\ln (1+{\text{e}}^{3x})$ .
    b. En déduire la limite de   $f$  en $-\mathrm{\infty }$ .
3. Étudier les variations de la fonction $f$  sur $\mathbb{R}$  et dresser le tableau complet des variations de  $f$  sur $\mathbb{R}$ .
4. On considère la droite $\mathrm{\Delta }$  d'équation $y=-2x$ .
    a. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$  et $\mathrm{\Delta }$ . (On pourra s'aider de la question 2.a.)
    b. Soit $x$  un réel. On note $\text{M}$  le point de ${\mathcal{C}}_f$  d'abscisse $x$  et $\text{P}$  celui de $\mathrm{\Delta }$  d'abscisse $x$ . Exprimer en fonction de $x$  la distance $\text{MP}$  et calculer sa limite lorsque $x$  tend vers $-\mathrm{\infty }$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?
    c. On estime que $\text{M}$  et $\text{P}$  sont indiscernables à l’œil nu dès lors que $\text{MP}$  est inférieure à  $0,02$ cm. Pour quelle valeur minimale de $x$  peut-on discerner, à l’œil nu, les points $\text{M}$  et $\text{P}$  ?